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一元函数积分公式 一元函数、多元函数的泰勒公式

日期:2020-01-05 来源:一元函数积分公式 评论:

[摘要]本章涉及知识点:1、一元函数的泰勒公式推导2、扩展:二元函数的泰勒公式3、二元函数的泰勒矩阵形式4、多元函数的泰勒矩阵形式5、案例演示一、一元函数的泰勒公式推导情况一:如果为一阶连续可微分,且已知则由微积分基本定理的Newton-Leibn...……

本章涉及知识点:

1、一元函数的泰勒公式推导

2、扩展:二元函数的泰勒公式

3、二元函数的泰勒矩阵形式

4、多元函数的泰勒矩阵形式

5、案例演示

一、一元函数的泰勒公式推导

情况一:如果一阶连续可微分,且已知

则由微积分基本定理的Newton-Leibniz公式得

一阶连续可微

可以拆分为已知的和未知的两部分之和

情况二:如果二阶连续可微分,且已知

则由分部积分法得

二阶连续可微

可以拆分为已知的和未知的两部分之和

情况三:如果三阶连续可微分,且已知

则继续使用分部积分法得

三阶连续可微

可以拆分为已知的和未知的两部分之和

数学归纳法以此类推,如果n+1阶连续可微分,则

n+1阶连续可微

上式就是完美的泰勒公式,我们对的阶数知道越多,则解剖的越精细

其中余项可以表示为积分形式,即

余项的积分形式

我们一般在数学分析学中使用泰勒二阶展开,即

泰勒二阶展开

二、扩展:二元函数的泰勒公式

通过类比一元函数得泰勒公式,我们容易将二元函数在点进行二阶泰勒展开来分析研究(其中三阶连续可微)

二元函数的二阶泰勒展开

我们整理一次展开项,得

1次展开项

整理二次展开项,得

2次展开项

在点进行二阶泰勒公式可以写为:

二元函数的2阶泰勒公式

数学归纳法,易知的n次展开项为

n次展开项

在点进行n阶泰勒公式可以写为:

二元函数的n阶泰勒公式

至此我们得到了二元函数的n阶泰勒公式,当然,我们还可以继续化简得

二元函数的n阶泰勒公式

三、二元函数的泰勒矩阵形式

为了便于以后研究分析多元函数的极值和凸优化最值问题,我们需要继续探索二元并推广到多元函数的泰勒矩阵形式,一般展开到二阶

将二元函数在点的二阶泰勒公式写为矩阵形式,即

二元函数的二阶泰勒矩阵形式

我们记:

在点的二阶泰勒的矩阵形式为

二元函数的二阶泰勒矩阵形式

其中H矩阵叫做Hessian矩阵(黑塞矩阵),我们在多元函数极值分析中再分析讨论

四、多元函数的的泰勒矩阵形式

由上述二元函数的泰勒矩阵形式,我们很容易推广到多元函数的泰勒矩阵形式

对于n元函数,研究其在点的泰勒矩阵形式

同理,我们记:

同理,我们可以推出在点的二阶泰勒的矩阵形式为

多元函数的二阶泰勒矩阵形式

可以看到在矩阵形式下,多元函数的二阶泰勒矩阵形式和二元函数的区别为:函数自变量的维度和Hessian矩阵的shape

且由线性代数的知识可知,多元函数的二阶泰勒矩阵形式是一个关于二次型方程,这对于我们后面分析多元函数极值的情况非常有用

五、案例演示

下面我们以一元函数为例,通过一个案例演示泰勒公式

案例函数为:

已知:的值(注意我们只知道处的k阶导函数值,并不知道的k阶导函数

未知:的函数表达式,以及的k阶导函数表达式

需求:给定任意x逼近计算

解决方案:的taylor近似计算

递归求fx的高阶导函数值计算fx的N阶泰勒公式函数值近似拟合结果

从结果中可以看到:从15阶高阶导数开始,taylor公式已非常近似逼近未知的

案例代码见:一元函数的泰勒公式

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